中学生でも分かるabc予想( ^ω^)

最近,abc予想が巷で噂になってるけど,

僕の中学生の教え子でも,関心を持つ子がいて,少し嬉しく思ったお( ^ω^)

でも,abc予想の「内容」まではメディアでは報道されなくて,

検索してもそこまで分かりやすい文章があるとは思えなかったので,

自分なりに簡単に説明してみたお( ^ω^)

まず,登場するのは,自然数のa,b,c.自然数とは,1,2,3…という例のアレだお( ^ω^)

そして,aとbとcは何でもよいわけではなくて,次の条件(☆)があるんだお( ^ω^)

  1. a+b=c (テレビではこれしか触れられていないお( ^ω^))
  2. ab互いに素

ここで,「aとbが互いに素」っていうのは,aとbの最大公約数が1になっているものだお( ^ω^)

例えば,14と16で考えてみるお( ^ω^)

14の正の約数は,1,2,7,14だお( ^ω^)

16の正の約数は,1,2,4,8,16だお( ^ω^)

最大公約数っていうのは,両方に登場している約数の中で一番大きいものだお( ^ω^)

今は,1と2が両方に入っているけど,2の方が大きいから,最大公約数は2だお( ^ω^)

だから,14と16は互いに素じゃないお( ^ω^)

もう1つ,16と17で考えてみるお( ^ω^)

16はさっき書いたから省略するお( ^ω^)

17の正の約数は,1,17だお( ^ω^)

そしたら,今度は両方に1しか入ってないお( ^ω^)

だから,最大公約数は1になるお( ^ω^)

16と17は互いに素だお( ^ω^)

一般には,隣合う数字は互いに素になることが知られているお.

この条件(☆)を満たしている(a,b,c)の組をabc-triple(えーびーしーとりぷる)と言うらしいけど,どうでもいいお( ^ω^)

さっきの17みたいに,約数が17それ自身と1しかないのを素数というお( ^ω^)

素数を小さい値から書いていくと,2,3,5,7,11,13,17,19… という感じで,素数は無限個あると証明されているお( ^ω^)

素数はとても大事な数で,どんな自然数も素因数分解という素数しか登場しない掛け算で表せるお( ^ω^)

例えば,24=2^3 \times 3 となるお.

ここで,2^3は,「2を3回掛けること」=「2\times 2\times 2」のことだお( ^ω^)

ちなみに,「2の3乗(じょう)」と読むお( ^ω^)

ここで,rad とか N とか書かれる,次の計算を考えるお( ^ω^)(ここではrad を採用するお)

rad(n)=(nの素因数の積)

例えば,rad(24)=rad(2^3 \times 3)=2\times 3=6という感じで,素因数分解したあと素数の右上の数字を省いて掛け算するだけだお( ^ω^)

他には,rad(64)=rad(2^5)=2だし,逆にrad(17)=17だお( ^ω^)

すると,お待ちかね「abc予想」は

上の条件(☆)を満たす(a,b,c)の組(abc-triple)のうち,c<(rad(abc))^kを満たさないのは有限個.あ,k>1ね.

ということになるお( ^ω^)

まだちょっと難しいから,例を書くお( ^ω^)

例えば,16と17は互いに素だったから,a=16,b=17としたら,c=16+17=33となるお.だから,(16,17,33)は上の条件(☆)を満たすお( ^ω^)

でも,rad(16\times 17\times 33)=rad(8976)=rad(2^4\times 3\times 11\times 17)=2\times 3\times 11\times 17=1122となって,

k=1の時でさえ,33<(1122)^1は余裕で成立するから,c<(rad(abc))^kも満たしてしまうお( ^ω^)

だから,k>1じゃ,余裕でダメだお( ^ω^)今,c<(rad(abc))^kは満たして欲しくないんだお.

でも,中にはc<(rad(abc))^kも満たしてしまうペアもあるんだお( ^ω^)

例えば,(1,8,9)を考えてみるお( ^ω^)

当然,9=1+8だお( ^ω^) んで,1の正の約数は1で,8の正の約数は1,2だから,最大公約数は1だから,1と8は互いに素だお( ^ω^)

(1,8,9)は条件(☆)を満たしてるお.

それから,rad(1\times 8\times 9)=rad(72)=rad(2^3 3^2)=2\times 3 =6となって,

k=1.1だったら,9 < 6^{1.1} = 7.17...は成立しないから,c<(rad(abc))^kは満たさないお( ^ω^)

だから,k=1.1のとき(1,8,9)はabc予想の言う貴重な有限個の中に入っているお( ^ω^)

でもk=1.6だったら,9 < 6^{1.6} = 17.6...だから,c<(rad(abc))^kは満たしてしまうお( ^ω^)

 

ちなみに,1垓(がい)=1兆の1億倍 以下の数字のうちで,

(a,b,c)が条件(☆)を満たし,c<(rad(abc))^{1.6}を満たすのは,たった3個しかないお.

ちなみに,k=2となるペアはまだ見つかってないお( ^ω^)

それと,k=1のときは無限個あることが知られているお( ^ω^)

abc予想はほぼ正しいと専門家の間でも思われているお( ^ω^)

でも,誰も証明はできなかったお.今回の証明が正しいことを祈るお( ^ω^)

多項式アナロジーのABC定理に触れられなかったり,

フェルマーの最終定理,カタラン予想との関係性に触れられなかったのは残念だお( ^ω^)

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