ν次元超球面上の有理点

半径k \in \mathbb{N}\nu次元超球面上の有理点のパラメータ表示

\displaystyle x_1 = \prod_{j=1}^{\nu -1}\dfrac{2k m_j n_j}{m_j^2 + n_j^2}

\displaystyle x_i = \prod_{j=1}^{\nu -i}\dfrac{2k m_j n_j}{m_j^2 + n_j^2} \dfrac{k (m_{\nu +1-j}^2- n_{\nu +1-j}^2)}{m_{\nu +1-j}^2 + n_{\nu +1-j}^2}   (2\leq i \leq \nu -1)

x_{\nu} = \dfrac{k (m_1^2- n_1^2)}{m_1^2 + n_1^2}
ただし,m_1,n_1,\cdots m_{\nu -1},n_{\nu -1} \in \mathbb{N}で,2\nu個の整数パラメータ
これは,次のノルム値を持つ.(はずである)
\displaystyle \sqrt{\Bigl(\prod_{j=1}^{\nu -1}\dfrac{2k m_j n_j}{m_j^2 + n_j^2}\Bigr)^2+\sum_{i=2}^{\nu -1}\Bigl(\prod_{j=1}^{\nu -i}\dfrac{2k m_j n_j}{m_j^2 + n_j^2} \dfrac{k (m_{\nu +1-j}^2- n_{\nu +1-j}^2)}{m_{\nu +1-j}^2 + n_{\nu +1-j}^2}\Bigr)^2+\Bigl(\dfrac{k (m_1^2- n_1^2)}{m_1^2 + n_1^2}\Bigr)^2}
= k
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