とある級数

\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{m=0}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1}}{(m+n+1)\sqrt{m+1}}を求めよ.

雑やけど,こんな感じちゃうのん.

\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{m=0}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1}}{(m+n+1)\sqrt{m+1}}

\displaystyle = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} \sum_{m=0}^{n} \frac{(n+1)\sqrt{n+1}}{(m+n+1)\sqrt{m+1}}

\displaystyle =\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} \sum_{m=0}^{n} \frac{1}{(\frac{m}{n+1}+1)\sqrt{\frac{m+1}{n+1}}}

\displaystyle =\int_{0}^{1} \frac{dx}{(x+1)\sqrt{x}}

\displaystyle = 2\int_{0}^{1}\frac{dt}{t^2 +1}

= \pi

結果,綺麗ですね.

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