非線形漸化式

次の非線形漸化式は解ける.

a_{n+1}=\dfrac{a_{n}^2-5}{2a_{n}+3}. ただし,初項a_{1} = \dfrac{9}{5}

答えを急ぐ人は,Wolfram Alphaに突っ込みましょう.

さて,これの一般解を今回求めたので,ここに記録する.

a_{n+1}=\dfrac{pa_{n}^2+q}{2pa_{n}+r}型の漸化式は
r^{2}+4pq>0のとき,
a_{n}=-\dfrac{r}{2p}+\dfrac{\sqrt{r^{2}+4pq}}{2p}\coth \Bigl(2^{n-1}\coth ^{-1}\Bigl( \dfrac{2pa_{1}+r}{\sqrt{r^{2}+4pq}} \Bigr) \Bigr)

r^{2}+4pq<0のとき,
a_{n}=-\dfrac{r}{2p}+\dfrac{\sqrt{|r^{2}+4pq|}}{2p}\cot \Bigl(2^{n-1}\cot ^{-1}\Bigl( \dfrac{2pa_{1}+r}{\sqrt{|r^{2}+4pq|}} \Bigr) \Bigr)

解き方
b_{n}=a_{n}+\dfrac{r}{2p}とおくと,
b_{n+1}=\dfrac{pb_{n}^{2}+\dfrac{r^{2}}{4p^{2}}+q}{2pb_{n}}=\Bigl( \dfrac{b_{n}}{2\beta } + \dfrac{2\beta}{b_{n}}\Bigr) \beta
とできる.ただし,\beta = \dfrac{\sqrt{r^{2}+4pq}}{4p}

r^{2}+4pq>0のとき,
\dfrac{b_{n+1}}{\beta}=\dfrac{b_{n}}{2\beta}+\dfrac{2\beta}{b_{n}}
x_{n+1}=\dfrac{x_{n}}{2}+\dfrac{2}{x_{n}} ただし,x_{n}=\dfrac{b_{n}}{\beta}

そして,\dfrac{x_{n}}{2}=\coth \theta_{n}とおけば
2\coth \theta_{n+1}=\coth \theta_{n} + \tanh \theta_{n}=\dfrac{\cosh^{2}\theta_{n} - \sinh^{2}\theta_{n}}{\sinh \theta_{n}\cosh \theta_{n}}
\coth \theta_{n+1}=\dfrac{\cosh 2\theta_{n}}{\sinh 2\theta_{n}}=\coth 2\theta_{n}
\theta_{n+1}=2\theta_{n}
\theta_{n}=2^{n-1} \theta_{1}
だから,初項は
\theta_{1}=\coth ^{-1} \dfrac{x_{1}}{2}=\coth^{-1} \dfrac{b_{1}}{2\beta}=\coth^{-1} \dfrac{1}{2\beta}\Bigl(a_{1}+\dfrac{r}{2p}\Bigr)
だから,一般項は
a_{n}=-\dfrac{r}{2p}+\dfrac{\sqrt{r^{2}+4pq}}{p}\coth \Bigl( 2^{n-1} \coth^{-1} \Bigl( \dfrac{2pa_{1}+r}{2\sqrt{r^{2}+4pq}} \Bigr) \Bigl)

r^{2}+4pq<0のときは略.
非線形漸化式面白い.

広告

非線形漸化式」への2件のフィードバック

  1. a[0]=4, a[n+1]=√(a[n]+2) と表される数列の一般項を求めよ。
    ただし一般項を表す式に使ってよいのは
    n,整数,四則演算,べき乗(平方根も含む)と
    演算の優先順位を変えるためのカッコのみとする。

    1. 詳細は省きますが,\coth xの倍角公式に登場する再帰構造によって
      一般項は(2 + \sqrt{3})^{2^{-n}} + (2 + \sqrt{3})^{-2^{-n}}と分かりますね.
      ちなみに,nを負方向にすすめていくと,Mersenne primeを発見する際の素数判定に用いられるLucas–Lehmer数列となります.

コメントを残す

以下に詳細を記入するか、アイコンをクリックしてログインしてください。

WordPress.com ロゴ

WordPress.com アカウントを使ってコメントしています。 ログアウト / 変更 )

Twitter 画像

Twitter アカウントを使ってコメントしています。 ログアウト / 変更 )

Facebook の写真

Facebook アカウントを使ってコメントしています。 ログアウト / 変更 )

Google+ フォト

Google+ アカウントを使ってコメントしています。 ログアウト / 変更 )

%s と連携中