部分分数分解の一般化から分かること

ここ一年ぐらい温めていたアイディア,部分分数分解の一般化を教授に話に言ったら
で?みたいに追い返されたので,腹いせに投稿w

\dfrac{1}{x^m y^n}=\displaystyle \sum_{i=1}^{m} \frac{{}_{m+n-1-i}C_{n-1}}{(x+y)^{m+n-i}}\frac{1}{x^i} +\sum_{j=1}^{n} \frac{{}_{m+n-1-j}C_{m-1}}{(x+y)^{m+n-j}}\frac{1}{y^j}

というのを求めたんだけど,何に使えるの?って言われてもなあ…

m=n,x=-k,y=k+1を代入してkをシグマすると,

\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \Bigl( \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} \Bigr)^m = (-1)^m \Bigl( \sum_{i=1}^{\lfloor \frac{m}{2} \rfloor}{}_{2m-2i-1}C_{m-1}\zeta (2i) - {}_{2m-1}C_m \Bigr)

他に,x=\cos ^2 \theta , y=\sin ^2 \thetaを代入して,\cos \theta \sin \thetaで割って\thetaで積分すると

\displaystyle \int \frac{d\theta}{\cos ^{2m+1} \theta \sin ^{2n+1} \theta}\\    =-{}_{m+n}C_n \log \cos \theta +{}_{m+n}C_m \log \sin \theta +\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{m} \frac{{}_{m+n-i}C_{n}}{i \cos ^{2i} \theta}-\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n} \frac{{}_{m+n-j}C_{m}}{j \sin ^{2j} \theta}

上の総和はMathematicaで一般のmにたいして解いてくれないし,

下の積分なんか,岩波公式に載ってないんだけどなあ.

ま,いいか.Galoisみたいな不遇な境遇もあるしな.

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