オイラーの五角数定理

最近またもや分割数に凝っていて遭遇したのが\displaystyle{\prod_{k=1}^{n} (1-x^k)}の展開.地道にn=1から代入してみましょう.

n x^0 x^1 x^2 x^3 x^4 x^5 x^6 x^7 x^8 x^9 x^{10}
1 1 -1
2 1 -1 -1 1
3 1 -1 -1 0 1 1 -1
4 1 -1 -1 0 0 2 0 0 -1 -1 1

全く規則性が見えません…

しかし,\displaystyle{\prod_{k=1}^{n} (1-x^k)}に新たに(1-x^{n+1})をかけるということは,x^n以下の係数はそのままだから,

n\rightarrow \inftyとしたとき,そこには何らかの数列が現れます.それが次の数列です.

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
\infty 1 -1 -1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 -1 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 1 0 \cdots

というまたもや意味不明な数列が現れます.

\cdotsここが凡人と天才の差.オイラーはこの数列に規則性を見出しました.

五角数が現れていることに気づいたのです.

オイラーの五角数定理

\displaystyle{\prod_{n=1}^{\infty} (1-x^n)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} (-1)^n x^{n(3n-1)/2}}

めっちゃカッコいい… 積が和になるなんて...
証明はWikipedia – オイラーの五角数定理に任せるとして,依然として部分積の際の係数は謎のままです.吾輩が目下研究中であります.それでは.

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