exp[cos(nx)]cos[sin(nx)]の積分

数理解析(複素関数)の試験問題が面白かったので紹介.

C=\{z\in \mathbf{C} | |z|=1\}とする.自然数nについて,\displaystyle{\int_{C}} \dfrac{e^{z^n}}{z}dzを計算せよ.更に,その結果を用いて,

(i) \displaystyle{\int_{0}^{2\pi}} e^{\cos n\theta}\cos (\sin n\theta)d\theta

(ii) \displaystyle{\int_{0}^{2\pi}} e^{\cos n\theta}\sin (\sin n\theta)d\theta

の値を求めよ.

という誘導たっぷりの問題.

とりあえず,\dfrac{e^{z^n}}{z}をLaurent展開する.

\dfrac{e^{z^n}}{z}=\dfrac{1}{z}\{ 1+z^n+\dfrac{(z^n)^2}{2!}+\cdots \}    =\dfrac{1}{z}+z^{n-1}+\dfrac{z^{2n-1}}{2!}+\cdots

だから,z=0は1位の極で留数は1

\displaystyle{\int_{C}} \dfrac{e^{z^n}}{z}dz=2\pi i \times 1=2\pi i

そして,

\displaystyle{\int_{0}^{2\pi}} e^{\cos n\theta}\cos (\sin n\theta)d\theta    +i \displaystyle{\int_{0}^{2\pi}} e^{\cos n\theta}\sin (\sin n\theta)d\theta \\    =\displaystyle{\int_{0}^{2\pi}} e^{\cos n\theta}\{ \cos (\sin n\theta) +i\sin (\sin n\theta)\}d\theta \\    =\displaystyle{\int_{0}^{2\pi}} e^{\cos n\theta} e^{i \sin n\theta}d\theta    =\displaystyle{\int_{0}^{2\pi}} e^{\cos n\theta+i \sin n\theta}d\theta \\    =\displaystyle{\int_{0}^{2\pi}} e^{e^{i n\theta}}d\theta    =\displaystyle{\int_{C}} e^{z^n}\dfrac{dz}{iz} \\    =\dfrac{1}{i} \displaystyle{\int_{C}} \dfrac{e^{z^n}}{z}dz    =\dfrac {2\pi i}{i}=2\pi

だから,

(i) \displaystyle{\int_{0}^{2\pi}} e^{\cos n\theta}\cos (\sin n\theta)d\theta ={\rm Re}[ 2\pi ]=2\pi

(ii) \displaystyle{\int_{0}^{2\pi}} e^{\cos n\theta}\sin (\sin n\theta)d\theta ={\rm Im}[ 2\pi ]=0

と求まる.こんな気持ち悪い積分がnによらず,それぞれ2\pi, 0 と求まるのが快感だよな.複素関数極めたい.

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